INSTITUT DE RECHERCHE DE L'ENSEIGNEMENT DES
MATHEMATIQUES DE LILLE
Université des Sciences et Techniques de Lille
" LE BILLARD ET LES MATHEMATIQUES A L’ECOLE ET AU COLLEGE
Marc Picot ,
professeur de mathématiques
au CES Mermoz de Faches-Thumesnil
IREM de Lille
|
V. Ainsi parla-t-il : et quelles sont ces
Grenouilles dont tu m'entretiens ? VI. Et elle lui répondit : tu ne pourrais
point comprendre VII. Et il
dit : ah bon ! La
Gnomenclature, Des grenouilles, Chapitre 1, Versets V-VII |
"On voit que l'expérience joue un rôle
indispensable dans la genèse de la géométrie ; mais ce serait une erreur d'en
conclure que la géométrie est une science expérimentale, même en partie.
Si elle était expérimentale,
elle ne serait qu' approximative et provisoire. Et quelle approximation
grossière!
La géométrie ne
serait que l'étude des mouvements des solides ; mais elle ne s'occupe pas en
réalité des solides naturels,elle a pour objet certains solides idéaux,
absolument invariables, qui n'en sont qu'une image simplifiée et bien lointaine
La notion de ces corps
idéaux est tirée de toute pièce de notre esprit et l'expérience n'est qu'une
occasion qui nous engage à l'en faire sortir.
Ce qui est l'objet de la
géométrie, c'est l'étude d'un "groupe" particulier ; mais le concept
général de groupe préexiste dans notre esprit au moins en puissance. [..]
Il faut choisir [parmi les
groupes possibles] celui qui sera l'étalon
auquel nous rapporterons les phénomènes naturels.
L'expérience nous guide dans ce
choix qu'elle ne nous impose pas ; elle nous fait reconnaître non quelle est la
géométrie la plus vraie, mais qelle est la plus commode.
Henri Poincaré La
science et l'hypothèse.
Introduction: Où trouver des billards ?
Il suffit d'être en bons termes avec un club proche
pour disposer de quelques tables de billard (environ 6) ou bien de faire
installer une table au fond de la classe
(il faut une grande salle pour qu'il reste de la place pour des tables
et des chaises).
Dans les manuels :
La première rencontre avec le billard se fait souvent
dans les manuels scolaires. De l'école primaire à la terminale, on y trouve des
exercices utilisant le billard, pour illustrer les notions d' angles, de plus
court chemin, de trajet de lumière, etc...
Exemple 1: Hachette CM2 édition 1988: p 101
Reproduis le rectangle ci-dessous qui représente une table de billard.
u Place les points A et B sur le rectangle et termine
la trajectoire de la boule en obéissant à la règle suivante :
"Chaque fois que la boule touche un bord de la table, elle
rebondit en formant avec ce bord un angle égal à l'angle d'attaque."
(utilise le compas pour construire les angles de rebondissement).
u Après les trois rebondissements, la boule va-t-elle
entrer dans le trou ?
Exemple 2:
Hachette 6ème Delord -Vinrich
1990 " Histoire de billard"
ou Hachette Cinq sur Cinq édition 1996 "énigme du chapitre"
Le film suivant décrit la trajectoire d'une boule de billard frappant,
sans effet, une bande (autrement dit un bord).
angle bleu = angle vert
1°
a) Calquer le dessin ci-contre.
b) En utilisant une règle (non graduée),
une équerre et
un compas,
répondre à la question suivante:
La "boule" rouge va-t-elle heurter la boule bleue ?
2)
Calquer la trajectoire ci-contre d'une
boule de billard.
Grâce à deux pliages successifs,
retrouver .... la bande
Exemple 3 : Nathan technique
4ème édition 93
Problèmes d'angles
|
Le billard Lorsqu' une
boule de billard frappe sur le bord de la table elle repart en faisant un
angle de même mesure que l'angle d'arrivée (fig. 32). Quel point du bord doit viser le joueur de la
boule placée en A pour toucher la boule placée en B (fig. 33) ? Quelle est la
technique des joueurs de billard ? solution: Supposons que
le joueur ait atteint la boule B en visant le point T ;[...] |
|
|
Expérimenter -Modéliser- Contrôler- Conjecturer-
Théoriser
Le fait de travailler ces
exercices à partir du billard procède d'une démarche différente. Les manuels
donnent les lois et posent des questions.
Ici, on étudie un phénomène
et, à partir d'expériences concrètes
(c'est à dire que ces expériences sont réalisées physiquement), on modélise.
1) On construit ou on invente des concepts. Ces concepts
sont habituellement écrits et donnés par le professeur ; ici, ils sont en
relations avec le corps. Les angles, les droites de mon cahier sont les mêmes
que ceux que je ressens avec mes sens.
2) On découvre empiriquement des lois, en observant,
puis on tente de les formuler.
3) On essaye de modéliser : assimiler la bille à un
point, considérer que la bille roule sans effet, négliger certains paramètres
(frottement, enfoncement de la bande, force du coup de queue, imprécision du
geste ou de la visée,..)
On tente de comprendre
pourquoi la trajectoire prévue ne correspond pas à la réalité (rectitude du
coup de queue, choix du modèle).
Premiers pas sur un billard :
Avant de rencontrer la théorie, les élèves
s'approprient le billard.
Réalisable pour tous les
élèves, du CE 2 à .....vieux.
On rappelle le principe du
jeu: la bille du joueur, poussée par la queue, doit frapper les deux autres
billes ; le joueur marque un point et rejoue jusqu'à ce qu'il échoue (ne
touchant qu'une bille par exemple ).
Avec une classe, 4 à 8 élèves peuvent utiliser un billard. Chacun
leur tour, ils poussent la bille vers un point proposé par un camarade : point
sur le billard, sur la bande, sur une deuxième bille. Placer son corps est la
première difficulté.
La queue doit rester
horizontale. La bille est frappée par le procédé [1]
au-dessus du centre, sur le grand diamètre vertical (sinon, la bille recevra de
l'effet soit à gauche, soit à droite). On découvre ainsi le "roulement
naturel" (rotation de la bille le long d' un grand cercle vertical, vers
l'avant) ; du fait des frottements dus au drap, une bille qui ne rencontre
aucun obstacle finira toujours par rouler naturellement, quel que soit l'effet
donné initialement.
Cette découverte dure environ
15 minutes. Puis on propose des exercices.
Notions abordées
Description du rectangle (pour les petits) :
d'abord oralement, puis à
dessiner sur une feuille avec les éléments pertinents :
le rectangle est un double
carré, des repères, appelés mouches, sont dessinés sur le bois des bandes (ils
partagent une grande bande en 8 intervalles et une petite en 4 intervalles; en
général, il n'y a pas de mouche sur les coins);
proportionnalité : les billards de "match" sont des
agrandissements des billards "demi-match".
Notion de droite :
La droite est déterminée par deux points
L'élève saisira le concept de
droite s'il comprend qu'elle est invariante par glissement le long d'elle-même,
ce qui la différencie fondamentalement du segment ou de la demi-droite. Cette
idée de glissement permet à l'élève d'envisager les "prolongements"[2]
de la droite. La visée est étroitement liée à la notion de droite. Cette droite
est matérialisée par la queue de billard et son prolongement; elle passe par
deux points : le point de contact du procédé sur la bille, et le point que doit
atteindre la bille. C'est un premier modèle.
Notion d'angle:
Deux manières d'aborder cette notion au billard. On
étudie d'une part l' angle de réflexion après le choc sur une bande, d'autre
part. La déviation de la bille après le choc sur une autre bille.
wRéflexion sur une bande.
Chaque groupe d'élèves reçoit une fiche (annexe 1)
avec la consigne orale suivante : pousser la bille vers un point choisi sur la
bande. Donner une estimation "à priori" de la trajectoire que fera la
bille après le rebond sur la bande.
Un élève pousse la bille, un autre montre du doigt un
point à atteindre sur la bande. Les élèves montrent un point que la bille
atteindra (peut-être) après le rebond . Pour les premiers essais, l' accord se
fait rarement dans les groupes. Puis les élèves travaillent sur leur cahier le
problème suivant :
|
Complète
les dessins proposés sur la fiche (annexe 1). En t' aidant de tes
observations sur le billard, peux-tu donner une loi qui permet de deviner à
priori la trajectoire de la bille ? |
Curieusement, l'angle droit fait souvent son
apparition (même chez des adultes !): "la bille rebondit
perpendiculairement à la trajectoire d'incidence ". Il faut de nombreux
essais pour convaincre les élèves que cette loi est fausse. Un cas particulier
débloque la situation : une incidence normale ou loin de la normale à la bande
les convainc que leur proposition n'est pas conforme. Les jeunes élèves ne sont
pas habitués à varier les conditions pour vérifier ou infirmer une hypothèse.
Les essais qu'ils réalisent effectivement
sont une initiation à des tâtonnements et au contre-exemple. On peut aussi les
inviter à étudier les limite:ils peuvent monter qu'une loi proposée est
invalide, mais ils peuvent aussi aider à trouver une bonne loi.
Ensuite, ils proposent deux types de lois. On posera
plus loin le problème de l'équivalence entre ces lois.
Ceux qui pensent aux angles
utilisent un rapporteur (agrandi et photocopié sur transparent).
Certains ont une vague idée
de symétrie, difficile à expliciter . "On prend cet angle et le remet de
l'autre côté". Faire préciser qu'on doit imaginer un axe de symétrie, qui
est la droite perpendiculaire à la bande menée au point de contact bille-bande
émergera quand les élèves devront faire le dessin sur leur fiche.
Une fois la loi de la réflexion comprise, on
proposera en classe de dessiner des trajectoires après plusieurs rebonds. A
l'occasion, on retournera sur le billard pour confronter les idées sur papier
avec la réalité. Les élèves feront le même exercice en situation : "Tu
vises un point. Tu fais la trajectoire de tête et tu indiques approximativement
où va arriver la bille après trois, quatre, voire cinq bandes. Ensuite, tu
joues...."
Dans cette situation, l'élève
doit estimer l'angle d'attaque sur la bande [3],
puis l'angle de réflexion. Il peut matérialiser de visu la trajectoire en
utilisant une ou deux queues comme support de droites.
Sur le dessin, il utilisera,
suivant son niveau, des gabarits d'angles, le rapporteur, la symétrie axiale.
wChoc sur une autre bille:
Une technique fort utilisée
par les joueurs de billard est celle dite du "rejet naturel". Cette
technique s'applique lorsque la bille du joueur choque une autre bille sans
effet, ce qui fait qu'elle est plus ou moins déviée. Sans entrer dans les
finesses du jeu, on distingue trois situations :
1ère situation : la bille du joueur choque l'autre
bille en plein (fig 1)
2ème situation : elle l'effleure à peine (fig 2)
3ème situation : l'intermédiaire entre les deux
précédentes (fig 3)
Les élèves expérimentent ces
trois types de visées. Il est nécessaire de déplacer les pieds pour varier la
direction de la queue. On découvre empiriquement les premières lois [4]:
1-Si
la bille 2 est frappée en plein, la bille du joueur continue sa route sur la
même droite; elle n'est pas déviée [5].
La droite de visée est la droite des centres . fig.1
2-
Si la bille du joueur frôle la bille 2, elle est à peine déviée. La droite de
visée passe par le centre de la bille et un point à construire. D'où le
problème ( Fiche en annexe 2 )
|
Etant donné
les deux billes (de 62 mm de diamètre), construire géométriquement ce point. |
solution
: voir annexe 3
3- Si elle frappe ni en plein, ni en frôlant, elle est déviée d'un angle qui est approximativement toujours le même : 45° (les deux billes ne doivent pas être "trop proche " l'une de l'autre). Un carré de papier plié en deux, dont la diagonale est placée dans le prolongement de la droite des centres, matérialise cet angle.
Cette troisième situation est très utilisée par les
joueurs, car la visée est assez facile et de plus, elle supporte l'erreur de
visée (si on s'écarte un peu de la tangente, la déviation est très peu
affectée). Donc, un point de billard est facile à réaliser directement si les 3
billes forment un angle de 135°, la joueuse n'étant pas le sommet de cet angle.
Exercice : on place deux billes sur le
billard. Placer la troisième pour que le point soit facile à réaliser
directement.
Les élèves doivent donc
estimer à vue d’œil l'angle de 135°. On s'apercevra que ces estimations sont
perturbées par deux paramètres : le parallélisme aux bords du billard (si les
deux premières billes sont sur une droite parallèle à un bord, l' estimation
est très facile ) et surtout l 'éloignement des billes ; l' angle est
sous-évalué quand les billes sont loin (c'est à dire que la troisième sera
placée souvent en faisant un angle trop grand). C'est une difficulté à laquelle
sont d'ailleurs confrontés tous les joueurs.
Problème du point "bande avant"
Les billes sont placées sur
le billard dans la situation suivante:
Le point n'est pas réalisable
directement. Il est donc nécessaire de faire une ou plusieurs bande avant.
Les élèves (4ème) reçoivent
une fiche (annexe 4 ). On leur donne la loi : "La bille part de A et
rebondit vers B en effectuant le plus court trajet. C'est une loi de la
nature!"
On construit A' symétrique de
A par rapport à la bande. La droite (A'B) coupe la bande en T, qui est le point
cherché. Démontrer que ce trajet est bien le plus court est difficile pour un
collégien, même si les outils nécessaires sont disponibles en quatrième.
Démonstration :Soit
M un point de la bande, différent de T. L'inégalité triangulaire permet
d'affirmer que le trajet A'M + MB est plus long que le trajet A'T + TB. Or, M
et T étant des points de la médiatrice de [AA'], AM = A'M et A'T = AT. Donc le
trajet AM + MB est plus long que AT + TB.
De plus, cette construction
permet d'affirmer que ce plus court chemin est unique.
On peut démontrer que cette
loi du plus court trajet est équivalente à la loi : "L'angle d'incidence
est égal à l'angle de réflexion "
Problème:
On a deux lois:
1) La bille décrit le plus court chemin.
2) l'angle d'incidence est égal à
l'angle de réflexion.
Montrer que ces deux lois sont
équivalentes.
La construction précédente montre que 1)
implique 2)
Supposons maintenant que l'angle
d'incidence i soit égal à l'angle de
réflexion r.
La
droite (BT) coupe la perpendiculaire à (xy)
en A'. Les angles r et r" sont égaux puisque opposés par
le sommet. r = i par hypothèse, donc les complémentaires sont égaux aussi, d'où i' = r".
Donc i' = r". Dans le
triangle ATA', la droite (xy) est
donc à la fois hauteur et bissectrice. Le triangle ATA' est donc isocèle. Sa
hauteur est donc aussi médiane et médiatrice. Les points A et A' sont donc
symétriques par rapport à (xy). Ce
qui fait que le trajet ATB est bien le plus court.
Problème:
Dans
son livre sur le Billard, l'ancien champion du monde Willy Hopp propose la
méthode suivante:
Pour
trouver le point à viser en bande avant, tracer les perpendiculaires à la bande
passant par A et par B. Elles coupent la bande en A' et en B'. Les droites
(AB') et (A'B) se coupent en I. La perpendiculaire abaissée de I sur la bande
donne le point cherché T.
Démonstration
en annexe 6.
Trajectoire par deux
bandes :
Consigne:
Partant d'un point A, on veut que la
bille touche deux bandes avant
d'atteindre un point B. Construire le point qu'il faut viser sur la bande pour
réaliser ce projet.
ou bien :
On vise un point sur la bande.
Déterminer la trajectoire de la bille après avoir touché deux bandes.
Le problème est donc de
déterminer deux points sur deux droites.
Voici la solution :
On construit les points A' et
B' symétriques de A et B par rapport au côtés du billard.
La droite (A'B') coupe les
côtés en E et F. On démontre que :
·
la ligne brisée obéit
aux lois de la réflexion sur une bande (c'est le plus court trajet, et les
angles d'incidence sont égaux aux angles de réflexion.
·
(AE)//(BF) : on complète
le rectangle OFPE et on démontre que les angles AEF et BFE sont
supplémentaires.
·
que M, milieu de [EF] ,
N, milieu de [BA] et O sont alignés : pour cela, on trace la droite (OM), où M
est le milieu de [EF] ; elle coupe [AB] en N et on montre que N est le milieu
de [AB].
Le joueur peut-il se servir
de ce qu'on vient de démontrer.
Imaginons : sa bille est en A
et il veut aller en B par deux bandes : il cherche le milieu N de [AB], il trace (ON) et la parallèle à
(ON) qui passe par A ; elle coupe la bande en E : c'est le point à viser. Or,
les essais pratiques donnent des trajectoires très loin de celles annocées par
la théorie; notamment, (AE) n'est pas très parllèles à (BF) !... Il reste à
expliquer pourquoi, et donc à améliorer le modèle.
Trajectoire par trois
bandes :
On poursuit l'expérience du
"deux bandes".
Consigne:
Partant d'un point A, on veut que la
bille touche trois bandes avant d'atteindre un point B. Construire le point
qu'il faut viser sur la bande pour réaliser ce projet.attention : suivant la bande touchée en premier, on a
plusieurs trajectoires.
ou bien :
On vise un point sur la bande.
Déterminer la trajectoire de la bille après avoir touché trois bandes.
On
voit que cette figure n'a de sens sur le billard que pour certaine position de
A et de B.
Changement de modèle: la bille n'est plus assimilée à
un point.
Dans les exercices précédents, la bille était
assimilée à un point.
Maintenant, nous ne
négligeons plus l'épaisseur de la bille.
Exercice proposé aux élèves
de 4ème (fiche en annexe 5). La bille est représentée par un cercle de 62 mm de
diamètre.[F1]
Consigne:
La bille, poussée dans la direction
proposée, frappe la bande et rebondit. Représenter cette bille dans plusieurs
positions, notamment au moment où elle touche la bande, et une position après
le rebond.
Cet exercice introduit la
notion de distance d'un point à une droite. Il est nécessaire de construire la
parallèle à la bande située à 31 mm de cette bande. Voir figure ci-dessous.
Une autre façon de présenter
cette notion:
Consigne:
On veut que la bille touche la bande en
un point choisi sur cette bande. Construire le point qu'il faut viser sur la
bande pour réaliser ce projet.
ou bien :
On vise un point sur la bande.
Déterminer le point de contact entre la bille et la bande.
autre exercice : choc
élastique d'une bille en état de glissement sur une autre à l'arrêt.
on néglige donc tous les
frottements (ceux dus au tapis et ceux au moment du choc).
loi : dans ces conditions, la
bille 2 prend la direction de la ligne des centres au moment du choc et la
bille du joueur "prend la tangente".
Montrer que, si on vise
demi-bille, la bille du joueur est déviée d'un angle de 60°.
Conclusion:
Certaines notions théoriques
ne peuvent surgir que de la réalité, et, inversement, la mise en situation
physique fait émerger des situations imprévues. Par exemple, la dernière
activité montre que la bille ne touche pas la bande au point visé, et, du coup,
le billard a rétréci d' une épaisseur de bille sur la longueur et la largeur.
Ce facteur ne peut pas être négligé par le joueur qui aurait besoin d'augmenter
sa précision.
L' approche de la modélisation est très importante :
la bille est souvent remplacée par un point; sa trajectoire, c' est la
trajectoire de son centre de gravité; négliger les effets sur la bille, c' est
se rendre compte qu 'ils nécessitent une approche différente, combien riche et
sympathique pour les mécaniciens. Quel étonnement quand on s'aperçoit que la
trajectoire de la bille sur le billard n'est pas toujours une droite ...Que de
questions à se poser. Mais ceci est une autre histoire.
Problème : un billard bizarre !
Une bille part du centre d'un rectangle, et attaque une bande avec une incidence de 45°. Après 5 rebond, elle repasse par le centre. Elle a parcouru 8m. Quelle sont les dimensions du rectangle ?
Problème : un vrai billard !
Une
bille part d'un point sur une bande. A quelle condition repassera-t-elle par ce
point après avoir fait plusieurs bandes ?
Mêmes problèmes mais avec des billards de formes
différentes :
Billard
triangulaire, hexagonal, circulaire, ellipsoïdal,....
Pour en savoir plus :
" Billard", Théorie
du Jeu, par Régis Petit, édité chez Chiron en collaboration avec la Fédération
Française de Billard. Ce livre se veut une simplification abordable de
l'ouvrage de Coriolis. Plutôt pour les mécaniciens.
Pour apprendre à jouer, le
plus simple est de prendre contact avec un club. Pour les débutants, la FFB
propose un Cahier Pédagogique d' Accueil et d' Initiation à l'usage des animateurs de clubs (écrit par
le champion de France Marc Massé). La FFB prête des billards aux établissements
qui en font la demande.
Trajectoired dans un billard
: étude réalisée par 15 élèves du lycée Lamartine à Mâcon, publiée dans
"Quadrature", à l'occasion du congès mathématiques juniior en 1992.
ANNEXE 1 :
ANNEXE 2 : On vise demi-bille : dessiner la trajectoire du centre de C1 avant
le choc (la droite sera aussi la droite de visée sans effet)
Dessiner C1 au moment du choc
puis après le choc. Dessiner C2 après le choc. .
?
ANNEXE 3
|
On construit le
cercle de centre C2 et de diamètre 93 mm (1,5 fois celui de la bille).Puis il
faut construire la tangente à ce
cercle (C2) passant par le point C1. |
ANNEXE 4 :
Une bille est placée en A. Où
doit-elle frapper la bande pour atteindre le point B après un rebond ?
Loi de la réflexion:
Le trajet parcouru par la bille est le plus court
possible.
ANNEXE 5 :
.D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites
(IT) et (BB') sont parallèles. Donc (IT) 